7 hằng đẳng thức đáng nhớ rằng một trong những kiến thức có thể nói rằng quan trọng độc nhất trong trương trình toán lớp 7 và các cấp về sau. Trong bài ngày hôm nay, bọn họ sẽ cùng đi tìm kiếm hiểu về 7 hằng đẳng thức kỷ niệm và những dạng đổi khác tương đương của chúng. Dường như sẽ luyện tập áp dụng những hằng đẳng thức vào làm số đông dạng bài bác tập cơ bản.

Bạn đang xem: Bài tập hằng đẳng thức

1. 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Cho hai biểu thức A cùng B. Từ nhì biểu thức này, ta có thể lập ra 7 hằng đẳng thức như sau:

(A + B)² = A² + 2AB + B² (A – B)² = A²  – 2AB + B²

⇒ A² +B² = (A-B)² – 2AB = (A+B)² – 2AB

(A + B)(A – B) = A² – B²(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³(A – B)³ = A³ – 3A²B + 3A² – B³(A + B)( A² – AB + B²) = A³ +B³(A – B)( A² + AB + B²) = A³ –B³

2. Bài tập vận dụng:

Bài tập 1: sử dụng 7 hằng đẳng thức Viết các biểu thức sau bên dưới dạng tổng

(2x + 1)²(2x + 3y)²(x + 1)(x – 1)m² – n²(5x + 3yz)²(yx – 3ab)²(x² + 3)(xˆ4 + 9 – 3x²)(9x + 3)²(xy + 2yz)²

Lời giải

(2x+1)² = 4x²+ 4x +1(2x+3y)² = 4x² + 2.2x.3y + 9y² = 4x² + 12x.y + 9y²(x+1)(x-1) = x²-1m² – n² = (m – n)(m + n)(5x+3yz)² = 25x² + 2.5x.3yz + 9y²z² = 25x² + 30xyz + 9y²z²(yx – 3ab)² = y²z² – 2.yx.3ab + 9a²b²(x²+3)(xˆ4 + 9 – 3x²) = (x²)² + 3³ = x>xˆ4+27(9x+3)² = 81x² + 54x + 9(xy+2yz)² =x²y² + 2.xy.2yz + 4y²z² = x²y² +4xy² z + 4y² z²

Bài tập 2: sử dụng 7 hằng đẳng thức xứng đáng nhớ và rút gọn biểu thức sau:

A=(x+y)² – (x-y)²

*Cách 1: triển khai từng hằng số trong biểu thức B bởi hằng đẳng thức

(A ± B)² = A² ± 2AB+B²

A = (x+y)² – (x-y)² = x² + 2xy + y² – (x² – 2xy + y²) = 4xy

*Cách 2: áp dụng hằng đẳng thức A²–B = (A + B)(A – B)

A=(x+y)² – (x-y)² = (x+y+x-y)(x+y-x+y) = 2x.2y = 4xy

B = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)²

*Cách 1: triển khai từng hằng số vào biểu thức B bởi hằng đẳng thức

(A ± B)² = A² ± 2AB+B²

B = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)² = x² + 2xy + y² – 2x² + 2y² + x² – 2xy + y² = 4y²

*Cách 2: 

B = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)² = (x + y – x + y)² = (2y)² = 4y²

Bài tập 3: Tính nhanh các biểu thức sau

 153² + 94.153 + 47² 126² – 126.152 + 5776

Lời giải:

153² + 94.153 + 47² = 153² + 2.47.153 + 47² = (153+47)² = 200² = 40000126² – 126.152 + 5776 = 126² – 2.126.76 + 76² = (126-76)² = 50²

3. Các dạng chuyển đổi cần lưu giữ ý

Chú ý phép tính toán, nhân đối chọi thức với nhiều thức, nhân đa thức với nhiều thức, thực thi hằng đẳng thức. Những bài toán yêu cầu viết lại biểu thức. (Cần xem xét các luật lệ về nhân đối chọi đa thức cùng học ở trong 7 hằng đẳng thức xứng đáng nhớ. Chú ý về vệt của số hạng với dấu của các phép toán.Có thể áp dụng các tính chất về 7 hằng đẳng thức lưu niệm để tìm raBài tập về tìm giá trị bé dại nhất của một biểu thức. Bọn họ thực hiện bước thứ nhất là biến đổi biểu thức yêu ước về dạng M = A² + B trong số ấy A là 1 biểu thức chứa thay đổi và B là một số hoặc một biểu thức số độc lập. Theo đặc điểm về bình phương của phần đông số thực luôn không âm nên luôn luôn luôn có A² ≥ 0 với mọi giá trị của đổi thay số, do đó A² + B ≥ B đề nghị biểu thức có giá trị nhỏ nhất bởi B. Dấu = xảy ra khi A = 0.Bài tập về tìm giá bán trị lớn số 1 của một biểu thức. Chuyển đổi biểu thức yêu mong về dạng M = -A² + B trong các số ấy A là một trong những biểu thức chứa đổi thay và B là một vài hoặc một biểu thức số độc lập. Theo đặc điểm về bình phương của các số thực luôn luôn không âm nên luôn luôn luôn tất cả A² ≥ 0 với tất cả giá trị của thay đổi số, cho nên vì thế -A² + B ≤ B cần biểu thức có mức giá trị lớn nhất bằng B. Dấu = xẩy ra khi A=0.

Chú ý: nhờ vào 7 hằng đẳng thức kỷ niệm trên ta còn có thể thay đổi và suy ra các đẳng thức tương tự như sau:

*

Từ hằng đẳng thức 1); 2); 3) ta có thể mở rộng lớn thêm những đẳng thức sau:

*

*

*

*

*

Câu 1: Tính:

a, (x + 2y)2

b, (x – 3y)(x + 3y)

c, (5 – x)2

Lời giải:

a, (x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2

b, (x – 3y)(x + 3y) = x2 – (3y)2 = x2 – 9y2

c, (5 – x)2 = 52 – 10x + x2 = 25 – 10x + x2

Câu 2: Tính:

a, (x – 1)2

b, (3 – y)2

c, (x – 1/2)2

Lời giải:

a, (x – 1)2 = x2 –2x + 1

b, (3 – y)2 = 9 – 6y + y2

c, (x – 1/2)2 = x2 – x + 1/4

Câu 3: Viết những biểu thức sau bên dưới dạng bình phương một tổng:

a, x2 + 6x + 9

b, x2 + x + 1/4

c,2xy2 + x2y4 + 1

Lời giải:

a, x2 + 6x + 9 = x2 + 2.x.3 + 32 = (x + 3)2

b, x2 + x + 1/4 = x2 + 2.x.1/2 + (1/2 )2 = (x + 1/2)2

c, 2xy2 + x2y4 + 1 = (xy2)2 + 2.xy2.1 + 12 = (xy2 + 1)2

Câu 4: Rút gọn biểu thức:

a, (x + y)2 + (x – y)2

b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

Lời giải:

a, (x + y)2 + (x – y)2

= x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2

= 2x2 + 2y2

b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

= <(x + y) + (x – y)>2 = (2x)2 = 4x2

c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

= (x – y + z)2 + 2(x – y + z)(y – z) + (y – z)2

= <(x – y + z) + (y – z)>2 = x2

Câu 5: Biết số tự nhiên và thoải mái a phân tách cho 5 dư 4. Chứng minh rằng a2 phân chia cho 5 dư 1.

Xem thêm: Daesang Là Gì - Daesang Bao Gồm Những Phần Thưởng Nào

Lời giải:

Số tự nhiên a chia cho 5 dư 4, ta có: a = 5k + 4 (k ∈N)

Ta có: a2 = (5k + 4)2

= 25k2 + 40k + 16

= 25k2 + 40k + 15 + 1

= 5(5k2 + 8k +3) +1

Ta có: 5(5k2 + 8k + 3) ⋮ 5

Vậy a2 = (5k + 4)2 chia mang lại 5 dư 1.

Câu 6: Tính quý giá của biểu thức sau:

a, x2 – y2 tại x = 87 với y = 13

b, x3 – 3x2 + 3x – 1 tại x = 101

c, x3 + 9x2+ 27x + 27 trên x = 97

Lời giải:

a, Ta có: x2 – y2 = (x + y)(x – y)

b, vậy x = 87, y = 13, ta được:

x2 – y2 = (x + y)(x – y)

= (87 + 13)(87 – 13)

= 100.74 = 7400

c, Ta có: x3 + 9x2 + 27x + 27

= x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33

= (x + 3)3

Thay x = 97, ta được: (x + 3)3 = (97 + 3)3 = 1003 = 1000000

Câu 7: Chứng minh rằng:

a, (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = 2a3

b, (a + b)<(a – b)2 + ab> = (a + b) = a3 + b3

c, (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad – bc)2

Lời giải:

a, Ta có: (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + b3 + a3 – b3 = 2a3