BÀI TẬP GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Với phương pháp giải các dạng toán về giới hạn của hàm số môn Toán lớp 11 Đại số với Giải tích gồm phương thức giải bỏ ra tiết, bài xích tập minh họa có lời giải và bài xích tập từ luyện để giúp đỡ học sinh biết cách làm bài xích tập các dạng toán về giới hạn của hàm số lớp 11. Mời các bạn đón xem:

Giới hạn của hàm số và phương pháp giải bài xích tập - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) giới hạn của hàm số trên một điểm:

* giới hạn hữu hạn: Cho khoảng tầm K chứa điểm x0 . Ta nói rằng hàm số f(x) khẳng định trên K (có thể trừ điểm x0) có giới hạn là L khi x dần tới x0 ví như với dãy số (xn) bất kì, xn∈Kx0và xn→x0, ta có: f(xn)→L

Kí hiệu:limx→x0f(x)=L xuất xắc f(x)→Lkhi x→x0.

Bạn đang xem: Bài tập giới hạn của hàm số

Nhận xét: nếu f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì limx→x0fx=fx0.

* số lượng giới hạn ra vô cực:

Hàm số y = f(x) có giới hạn dần cho tới dương vô rất khi x dần dần tới x0 nếu với đa số dãy số (xn):xn→x0thì f(xn)→+∞.

Kí hiệu: .

Hàm số y = f(x) có số lượng giới hạn dần cho tới âm vô rất khi x dần dần tới x0 nếu với đa số dãy số (xn):xn→x0thì f(xn)→−∞.

Kí hiệu: limx→x0f(x)=−∞.

b) số lượng giới hạn của hàm số trên vô cực:

* số lượng giới hạn ra hữu hạn:

- Ta nói hàm số y = f(x) xác minh trên (a;+∞)có số lượng giới hạn là L lúc x→+∞nếu với mọi dãy số (xn):xn>avà xn→+∞thì f(xn)→L.

Kí hiệu: limx→+∞f(x)=L.

- Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (−∞;b)có giới hạn là L lúc x→−∞nếu với mọi dãy số (xn):xnbvà xn→−∞thì f(xn)→L.

Kí hiệu: limx→−∞f(x)=L.

* giới hạn ra vô cực:

- Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (a;+∞)có số lượng giới hạn dần tới dương cực kỳ (hoặc âm vô cùng) khi x→+∞nếu với mọi dãy số (xn):xn>avà xn→+∞thì f(xn)→+∞(hoặc f(xn)→−∞).

Kí hiệu: limx→+∞f(x)=+∞(hoặc limx→+∞f(x)=-∞).

- Ta nói hàm số y = f(x) khẳng định trên (−∞;b)có giới hạn là dần dần tới dương cực kì (hoặc âm vô cùng) lúc x→−∞nếu với tất cả dãy số (xn):xnbvà xn→−∞thì f(xn)→+∞. (hoặc f(xn)→−∞).

Kí hiệu: limx→-∞f(x)=+∞(hoặc limx→-∞f(x)=−∞).

c) Các số lượng giới hạn đặc biệt:

d) Một vài ba định lý về số lượng giới hạn hữu hạn:

Chú ý:

- các định lý về số lượng giới hạn hữu hạn của hàm số vẫn đúng khi thay x→x0bởi x→+∞ hoặc x→-∞.

- Định lí trên ta chỉ áp dụng cho gần như hàm số có số lượng giới hạn là hữu hạn. Ta ko áp dụng cho những giới hạn dần về vô cực.

* Nguyên lí kẹp:

Cho tía hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên K đựng điểm x0 (có thể những hàm kia không xác định tại x0). Nếu g(x)≤f(x)≤h(x)  ∀x∈Klimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=Lthì .

e) nguyên tắc về giới hạn vô cực

Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x)g(x)

Quy tắc tìm số lượng giới hạn của thươngf(x)g(x)

f) giới hạn một bên:

* giới hạn hữu hạn:

- Định nghĩa 1: mang sử hàm số f xác định trên khoảng chừng x0;b,x0∈ℝ. Ta bảo rằng hàm số f có giới hạn bên nên là số thực L khi dần đến x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi dãy số bất kì (xn) các số thuộc khoảng (x0; b) mà lim xn = x0 ta đều phải sở hữu lim f(xn) = L.

Khi đó ta viết: limx→x0+fx=Lhoặc fx→Lkhi x→x0+.

- Định nghĩa 2: giả sử hàm số f khẳng định trên khoảng tầm a;x0,x0∈ℝ. Ta bảo rằng hàm số có số lượng giới hạn bên trái là số thực L lúc x dần mang đến x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi dãy bất kể (xn) hầu như số thuộc khoảng (a; x0) mà lại lim xn = x0 ta đều sở hữu lim f(xn) = L.

Khi đó ta viết: limx→x0−fx=Lhoặc fx→Lkhi x→x0−.

- thừa nhận xét:

limx→x0fx=L⇔limx→x0−fx=limx→x0+fx=L

Các định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng lúc thay x→x0bởi x→x0− hoặc x→x0+.

* số lượng giới hạn vô cực:

- các định nghĩa limx→x0−fx=+∞, limx→x0−fx=−∞, limx→x0+fx=+∞và limx→x0+fx=−∞được vạc biểu tương tự như quan niệm 1 và định nghĩa 2.

- dìm xét: những định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng nếu nắm L vì chưng +∞ hoặc-∞

2. Những dạng bài bác tập

Dạng 1: giới hạn tại một điểm

Phương pháp giải:

- giả dụ f(x) là hàm số sơ cấp xác minh tại x0 thìlimx→x0fx=fx0

- Áp dụng nguyên tắc về giới hạn tới vô cực:

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

Lời giải

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau:

Lời giải

Dạng 2: số lượng giới hạn tại vô cực

Phương pháp giải:

- Rút lũy thừa gồm số mũ lớn nhất

- Áp dụng quy tắc số lượng giới hạn tới vô cực

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

a)limx→+∞(7x5+5x2−x+7)

b)limx→−∞4x5−3x3+x+1

Lời giải

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

a)limx→+∞x6+5x−1

b)limx→−∞2x2+1+x

Lời giải

Dạng 3: Sử dụng nguyên tắc kẹp

Nguyên lí kẹp:

Cho tía hàm số f(x), g(x), h(x) khẳng định trên K chứa điểm x0 (có thể những hàm đó không khẳng định tại x0). Nếu g(x)≤f(x)≤h(x)  ∀x∈Klimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=Lthì limx→x0f(x)=L.

Phương pháp giải:

Xét tính bị chặn của hàm số f(x) vì hai hàm số g(x) với h(x) sao cholimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=L

Chú ý tính bị ngăn của hàm số lượng giác:

−1≤sinx≤1−1≤cosx≤1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính số lượng giới hạn của hàm số:

a)limx→0x2cos2nx

b)limx→−∞cos5x2x

Lời giải

Ví dụ 2: Tính giới hạn của hàm số:limx→+∞2sinx+cos3xx+1−x

Lời giải

Dạng 4: số lượng giới hạn dạng vô định00

Nhận biết dạng vô định 00: Tính limx→x0f(x)g(x)trong kia f(x0) = g(x0) = 0.

Phương pháp giải:

Để khử dạng vô định này ta phân tích f(x) và g(x) làm thế nào cho xuất hiện tại nhân tử chung là (x – x0)

Định lí: Nếu nhiều thức f(x) bao gồm nghiệm x = x0 thì ta có: f(x) = (x – x0)f1(x).

* trường hợp f(x) và g(x) là những đa thức thì ta so với f(x) = (x – x0)f1(x) và g(x) = (x – x0)g1(x).

Khi kia limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f1(x)g1(x), ví như giới hạn này còn có dạng 00thì ta thường xuyên quá trình như trên.

Chú ý: nếu như tam thức bậc nhì ax2 + bx + c bao gồm hai nghiệm x1; x2 thì ta luôn luôn có sự phân tích: ax2 + bx + c = a(x – x1) (x – x2)

* nếu f(x) cùng g(x) là những hàm chứa căn thức thì ta nhân lượng phối hợp để gửi về các đa thức, rồi phân tích các đa thức như trên.

Các lượng liên hợp:

* nếu f(x) và g(x) là những hàm cất căn thức không đồng cấp ta sử dụng phương pháp tách, chẳng hạn:

Nếu u(x)n,v(x)m→c thì ta phân tích:

u(x)n−v(x)m=(u(x)n−c)−(v(x)m−c)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a)limx→1x3−3x2+2x2−4x+3

b)limx→22x2−5x+2x3−8

Lời giải

a)limx→1x3−3x2+2x2−4x+3

=limx→1(x−1)(x2−2x−2)(x−1)(x−3)=limx→1x2−2x−2x−3=32

b)limx→22x2−5x+2x3−8

=limx→2(2x−1)(x−2)(x−2)(x2+2x+4)=limx→22x−1x2+2x+4=14

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau:

Lời giải

Dạng 5: số lượng giới hạn dạng vô định∞∞

Nhận biết dạng vô định∞∞

limx→x0uxvxkhi limx→x0ux=±∞,limx→x0vx=±∞

limx→±∞uxvx khilimx→x0ux=±∞,limx→x0vx=±∞

Phương pháp giải:

- phân chia tử với mẫu đến xn cùng với n là số mũ tối đa của biến đổi ở chủng loại (Hoặc phân tích các kết quả chứa nhân tử xn rồi giản ước).

- Nếu u(x) hoặc v(x) gồm chứa biến đổi x trong vệt căn thì chuyển xk ra bên ngoài dấu căn (Với k là mũ cao nhất của biến chuyển x trong vết căn), sau đó chia tử và mẫu mang đến lũy thừa cao nhất của x.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

Lời giải

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

Lời giải

Dạng 6: số lượng giới hạn dạng vô định ∞−∞ và0.∞

Phương pháp giải:

- giả dụ biểu thức chứa trở thành số dưới lốt căn thì nhân và phân tách với biểu thức liên hợp

- nếu như biểu thức đựng nhiều phân thức thì quy đồng mẫu mã và đem về cùng một biểu thức

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

Lời giải

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau:

a)limx→01x−1x2

b)limx→01x1x+1−1

Lời giải

Dạng 7: Tính giới hạn một bên

Phương pháp giải:

Sử dụng luật lệ tính số lượng giới hạn tới vô cực

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

Lời giải

Ví dụ 2: cho hàm số fx=x2+11−x khi x12x−2 khi x≥1. Tính:

a)limx→1+fx

b) limx→1−fx

Lời giải

a)limx→1+fx=limx→1+2x−2=2.1−2=0

b) limx→1−fx=limx→1−x2+11−x=+∞ vìlimx→1−x2+1=2>0limx→1−1−x=0x→1−⇒x1⇒1−x>0

Dạng 8: tìm kiếm tham số m nhằm hàm số có giới hạn ở 1 điểm mang lại trước

Phương pháp giải:

Sử dụng nhận xét:limx→x0fx=L⇔limx→x0−fx=limx→x0+fx=L

- Tính giới hạnlimx→x0−fx;  limx→x0+fx

- Để hàm số có số lượng giới hạn tại x = x0 mang lại trước thì limx→x0−fx= limx→x0+fx. Kiếm tìm m.

Khi kia với m vừa kiếm tìm được, hàm số có số lượng giới hạn tại x = x0 cho trước và số lượng giới hạn đó bằngL=limx→x0−fx= limx→x0+fx

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: cho hàm số fx=x2−3x+2x−2      x>2a                       x≤2. Với giá trị nào của a thì hàm số đã cho có số lượng giới hạn tại điểm x = 2?

Lời giải

Ta có

limx→2+fx=limx→2+x2−3x+2x−2=limx→2+x−1x−2x−2=limx→2+x−1=1

limx→2−fx=a.

Để hàm số có giới hạn tại x = 2 thì limx→2+fx= limx→2−fx.

⇒a=1

Vậy a = 1.

Ví dụ 2: Tìm các giá trị thực của thông số fx=m−3khi x12m−13khi x=11−7x2+2khi x>1để hàm số nhằm tồn tại limx→1fx.

Lời giải

Ta cólimx→1−fx=limx→1−m−3=m−3limx→1+fx=limx→1+1−7x2+2=−2

Để hàm số có số lượng giới hạn tại x = 1 thì limx→1−fx=limx→1+fx.

⇒m−3=−2⇔m=1

Vậy m = 1.

3. Bài bác tập tự luyện

Câu 1. Tính limx→1−−3x−1x−1bằng:

A. -1

B. -∞

C.+∞

D. -3

Câu 2. Tính limx→+∞2x2−13−x2bằng:

A. -2

B.13

C.23

D. 2

Câu 3. Tính limx→2x3−8x2−4bằng:

A. 3

B. 1

C. 4

D. 2

Câu 4. Tính limx→−4x2+3x−4x2+4xbằng:

A. -1

B. 54

C. 1

D.-54

Câu 5. Tính limx→1x3−1x−1bằng:

A. 13

B. 1

C. 12

D. 2

Câu 6. Tính limx→0x3+1−1x2+xbằng:

A. 4

B. 3

C. 0

D. 1

Câu 7. Tính limx→−∞4x2−x+1x+1 bằng:

A. -2

B. 1

C. 2

D. -1

Câu 8. Tính limx→+∞x+5−x−7 bằng:

A.-∞

B.+∞

C. 0

D. 4

Câu 9. Tính limx→−∞−2x5+x4−33x2−7là:

A. 0

B. +∞

C. -2

D.-∞

Câu 10. Tínhlimx→+∞x2−4x−x

A. -2

B. -∞

C. 0

D.+∞

Câu 11. Cho limx→−∞x2+ax+5+x=5. Quý hiếm của a là:

A. 6

B. 10

C. -10

D. -6

Câu 12. Kết trái đúng của limx→1x3−1x4−1bằng:

A. 34

B. 4

C. 43

D. 3

Câu 13. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. limx→−∞x4−x1−2x=0

B. limx→−∞x4−x1−2x=+∞

C. limx→−∞x4−x1−2x=1

D. limx→−∞x4−x1−2x=−∞

Câu 14. Cho fx=4−x2      −2≤x≤2x2−4x−2                         x>2. Tính limx→−2+fx.

A. 0

B. 4

C.+∞

D.

Xem thêm: Bài Tìm X Lớp 3 Tìm X - Chuyên Đề Giải Toán Tìm X Lớp 3

không tồn tại

Câu 15. Tìm những giá trị thực của thông số m để hàm số fx=x+m khi  x0x2+1khi  x≥0 có giới hạn tại x = 0.