Nội dung kỹ năng về đường tròn trong chương trình toán 9 hơi nhiều, đặc trưng các dạng toán về đường tròn có nhiều bài tập khá cạnh tranh làm cho nhiều người học sinh hồi hộp khi giải các bài tóa này.
Bạn đang xem: Bài tập cơ bản về đường tròn lớp 9
Vì vậy, nội dung bài viết dưới đây đã hệ thống lại kiến thức và kỹ năng về đường tròn và các dạng bài bác tập toán về con đường tròn với hướng dẫn phương pháp giải đưa ra tiết để qua đó giúp những em dễ nhớ các đặc thù về cung, dây cung, góc nội tiếp mặt đường tròn, góc ở trọng điểm đường tròn, vị trí tương đối của mặt đường tròn,...
A. Lý thuyết Đường tròn
I. Sự khẳng định của mặt đường tròn, đặc điểm đối xứng của đường tròn
1. Đường tròn
- Đường tròn trọng tâm O bán kính R (R > 0) là hình gồm những điểm cách điểm O một khoảng cách bằng R.
2. Vị trí tương đối của một điểm với một con đường tròn
- mang lại đường tròn vai trung phong (O;R) với điểm M.
M nằm trên tuyến đường tròn (O;R) ⇔ OM = RM nẳm trong mặt đường tròn (O;R) ⇔ OM M nẳm ngoài đường tròn (O;R) ⇔ OM > R3. Cách khẳng định đường tròn
- Qua tía điểm không trực tiếp hàng ta vẽ được một và có một đường tròn.
4. Tính hóa học đối xứng của đường tròn
- Đường tròn là hình bao gồm tâm đối xứng. Trung ương của đường tròn là trọng tâm đối xứng của của mặt đường tròn đó.
- Đường tròn là hình bao gồm trục đối xứng, trục ngẫu nhiên đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn.
II. Dây của đường tròn
1. So sánh độ lâu năm của 2 lần bán kính và dây
- trong những dây của mặt đường tròn dây lớn nhất là mặt đường kính
2. Tình dục vuông góc giữa đường kính và dây
- trong một con đường tròn, 2 lần bán kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
- trong một mặt đường tròn, 2 lần bán kính đi qua trung điểm của một dây thì vuông góc với dây ấy.
3. Tương tác giữa dây và khoảng cách từ chổ chính giữa đến dây
+ trong một đường tròn:
2 dây đều bằng nhau thì phương pháp đều tâm
2 dây phương pháp đều trung ương thì bằng nhau
+ trong 2 dây của 1 đường tròn
Dây như thế nào lớn hơn thế thì dây kia gần trọng tâm hơn
Dây nào bé dại hơn thì dây kia xa vai trung phong hơn
III. Vị trí kha khá của mặt đường thẳng với đường tròn
1. Vị trí kha khá của mặt đường thẳng với đường tròn
- cho đường tròn trung tâm (O;R) và mặt đường thẳng Δ, đặt d = d(O,Δ) lúc đó:
Đường thẳng giảm đường tròn trên 2 điểm phân biệt ⇔ dĐường thẳng tiếp xúc với mặt đường tròn ở một điểm ⇔ d=RĐường trực tiếp và mặt đường tròn không giao nhau ⇔ d>R- Khi đường thẳng và con đường tròn tiếp xúc nhau thì đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn. Điểm chung giữa con đường thẳng và mặt đường tròn hotline là tiếp điểm.
2. Vệt hiệu nhận biết tiếp con đường của con đường tròn
- ví như 1 mặt đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với nửa đường kính đi qua tiếp điểm
- Nếu 1 đường thẳng đi sang một điểm của mặt đường tròn với vuông góc với nửa đường kính đi qua điểm này thì đường chiến thắng ẩy là tiếp đường cùa mặt đường tròn.
3. Tính chất của nhì tiếp tuyến giảm nhau
- Nếu hai tiếp con đường cùa một con đường tròn giảm nhau tại một điểm thì:
Điếm đó bí quyết đều nhì tiếp điểm.Tia kẻ từ đặc điểm đó đi qua trung khu là tia phân giác của góc tạo bởi vì hai tiếp tuyến.Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo vị hai nửa đường kính (đi qua những tiếp điểm)4. Đường tròn nội tiếp tam giác
Đường tròn xúc tiếp với tía cạnh cùa một tam giác được điện thoại tư vấn là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác được điện thoại tư vấn là ngoại tiếp con đường tròn.Tâm cùa mặt đường tròn nội tiếp tam giác được gọi là giao điểm cùa những đường phân giác những góc trong tam giác.5. Đường tròn bàng tiếp tam giác
Đường tròn xúc tiếp với một cạnh cùa một tam giác và tiếp xúc với những phần kéo dài của nhị cạnh cơ được điện thoại tư vấn là đường tròn bàng tiếp tam giác.Với một tam giác, có tía đường tròn bàng tiếp.Tâm cùa mặt đường tròn bàng tiếp tam giác vào góc A là giao điểm cùa hai tuyến phố phân giác những góc bên cạnh tại B và C, hoặc là giao điểm cùa mặt đường phân giác góc A và đường phân giác bên cạnh tại B (hoặc C).IV. Vị trí tương đối của hai đường tròn
1. Tính chất đường nối tâm
- Đường nối tâm của hai đường tròn là trục đối xứng cùa hình tất cả cà hai tuyến phố tròn đó.
- Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điếm đồi xứng với nhau qua mặt đường nối tâm.
- Nếu hai con đường tròn xúc tiếp nhau thì tiếp điểm nằm trên phố nối tâm.
2. Vị trí tương đối của hai tuyến phố tròn.
+ mang đến 2 mặt đường tròn (O; R) cùng (O"; r) đặt OO"=d
- hai tuyến đường tròn giảm nhau tại 2 điểm ⇔ R-r R + r
O chứa O" ⇔ d 3. Tiếp tuyến phổ biến của nhì đường tròn
- Tiếp tuyến bình thường cùa hai tuyến đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai mặt đường tròn đó.
- Tiếp con đường chung ngoài là tiếp tuyến tầm thường không giảm đoạn nối tâm.
- Tiếp tuyến chung trong là tiếp tuyến phổ biến cắt đoạn nối tâm.
V. Tương tác giữa cung cùng dây
1. Định lí 1
+ Với hai cung nhỏ tuổi trong một đường tròn tuyệt trong hai tuyến đường tròn bởi nhau:
- nhị cung đều nhau căng nhì dây bởi nhau.
- hai dây đều nhau căng nhị cung bằng nhau.
2. Định lí 2
+ Với hai cung nhỏ tuổi trong một mặt đường tròn hay trong hai tuyến đường tròn bằng nhau:
- Cung to hơn căng dây bự hơn.
- Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
3. Xẻ sung
+ trong một mặt đường tròn, nhì cung bị chắn giữa hai dây tuy nhiên song thì bởi nhau.
+ vào một con đường tròn, 2 lần bán kính đi qua điếm tại chính giữa của một cung thì trải qua trung điểm của dây căng cung ấy.
+ vào một con đường tròn, 2 lần bán kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì trải qua điếm ở chính giữa của cung bị căng vày dây ấy.
+ vào một đường tròn, 2 lần bán kính đi qua điếm chính giữa của một cung thì vuông góc cùng với dây căng cung ấy với ngược lại.
VI. Góc nội tiếp đường tròn
1. Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc gồm đỉnh nằm trê tuyến phố tròn và hai cạnh cất hai dây cung của con đường tròn ấy.
- Cung nằm phía bên trong góc được gọi là cung bị chắn.
2. Định lí: vào một con đường tròn, số đo của góc nội tiép bằng nửa số đo của cung bị chắn.
3. Hệ quả
+ vào một mặt đường tròn:
- những góc nội tiếp đều bằng nhau chắn các cung bởi nhau.
- những góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn những cung cân nhau thì bởi nhau.
- Góc nội tiếp (nhỏ rộng hoặc bởi 90° có số đo bằng nửa số đo của góc nghỉ ngơi tâm cùng chắn một cung.
- Góc nội tiếp chắn nửa mặt đường trònlà góc vuông.
VI. Góc tạo vì tiếp con đường và dây cung
1. Định lí: Số đo của góc tạo bởi tiếp con đường và dây cung bởi nửa số đo của cung bị chắn.
2. Hệ quả: Trong một đường tròn, góc tạo do tia tiếp tuyến đường và dây cung cùng góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bởi nhau.
3. Định lí (bổ sung)
- giả dụ góc BAx (với đỉnh A nằm trê tuyến phố tròn, một cạnh đựng dây cung AB), có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên phía trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến đường của đường tròn.
VIII. Góc nghỉ ngơi đỉnh bên trong, với góc ngơi nghỉ đỉnh phía bên ngoài đường tròn
Định lí 1: Số đo của góc gồm đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng so đo hai cung bị chắn.
Định lí 2: Số đo của góc tất cả đỉnh ở bên phía ngoài đường tròn bằng nửa hiệu so đo hai cung bị chắn.
IX. Cung đựng góc
1. Quỹ tích cung đựng góc
- với đoạn thẳng AB cùng góc ∝ (00 nhì cung cất góc ∝ nói trên là hai cung tròn đối xứng với nhau qua AB.Hai điếm A, B được coi là thuộc quỹ tích.Đặc biệt: Quỹ tích các điếm M chú ý đoạn thẳng AB cho trước bên dưới một góc vuông là mặt đường tròn 2 lần bán kính AB.
2. Phương pháp vẽ cung đựng góc ∝
Vẽ mặt đường trung trực d của đoạn chiến thắng AB.Vẽ tia Ax sinh sản với AB một góc ∝Vẽ con đường thẳng Ay vuông góc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay với d.Vẽ cung AmB, tâm O, nửa đường kính OA sao cho cung này nằm tại vị trí nửa phương diện phẳng bờ AB không đựng tia Ax. Cung AmB được vẽ như trên là một trong những cung đựng góc ∝.3. Bí quyết giải việc quỹ tích
- Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) những điếm M thỏa mãn nhu cầu tính chất T là một hình H làm sao đó, ta phải minh chứng hai phần:
Phần thuận: đa số điếm có đặc thù T phần nhiều thuộc hình H.Phần đảo: mọi điểm nằm trong hình H đều có tính hóa học T.Kết luận: Quỹ tích những điếm M có tính chất T là hình H.
X. Tứ giác nội tiếp
1. Định nghĩa: Một tứ giác bao gồm bốn đỉnh vị trí một đường tròn được call là tứ giác nội tiếp mặt đường tròn.
2. Định lí
- vào một tứ giác nội tiêp, toàn bô đo 2 góc đối lập bằng 180o
- nếu một tứ giác có tổng số đo 2 góc đối lập bằng 180o thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
3. Một số trong những dấu hiệu nhận ra tứ giác nội tiếp
- Tứ giác bao gồm bốn đỉnh nằm ở một mặt đường tròn là tứ giác nội tiếp đường tròn.
- Tứ giác bao gồm tổng số đo 2 góc đối lập bằng 180o thì tứ giác kia nội tiếp được mặt đường tròn.
- Tứ giác ABCD bao gồm 2 đỉnh C cùng D sao cho
XI. Đường tròn nội tiếp, con đường tròn ngoại tiếp
1. Định nghĩa
Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được điện thoại tư vấn là đường tròn nước ngoài tiếp đa giác và đa giác được gọi là nhiều giác nội tiếp con đường tròn.Đường tròn xúc tiếp với vớ cả các cạnh của một đa giác được hotline là mặt đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nước ngoài tiếp con đường tròn.2. Định lí
- bất kể đa giác mọi nào cũng có một và duy nhất đường tròn ngoại tiếp, bao gồm một và duy nhất đường tròn nội tiếp.
- trung tâm của hai đường tròn này trùng nhau cùng được điện thoại tư vấn là tâm của nhiều giác đều.
- trọng điểm này là giao điểm hai tuyến phố trung trực của hai cạnh hoặc là hai tuyến phố phân giác của nhì góc.
* Chú ý:
Bán kính con đường tròn ngoại tiếp nhiều giác là khoảng cách từ trọng điểm đến đỉnh.Bán kính đường tròn nội tiếp nhiều giác là khoảng cách từ tâm O đến 1 cạnh.Cho n_ giác (đa giác có n cạnh) những cạnh a. Khi đó:Chu vi của đa giác: 2p = mãng cầu (p là nửa chu vi)Mỗi góc sinh sống đỉnh của nhiều giác có số đo bằng: 180o(n-2)/nMỗi góc ở trung ương của nhiều giác tất cả số đo bằng: 360o/nBán kính đường tròn ngoại tiếp R = a/(2sin(180o/n)) ⇒ a = 2.R.sin(180o/n)Bán kính đường tròn nội tiếp r = a/(2tan(180o/n)) ⇒ a = 2.r.tan(180o/n)Liên hệ giữa nửa đường kính đường tròn ngoại tiếp cùng nội tiếp: R2 - r2 = a2/4Diện tích đa giác đều: S = (1/2)narXII. Độ dài đường tròn, cung tròn
1. Bí quyết tính độ dài mặt đường tròn (chu vi mặt đường tròn)
- Độ nhiều năm C của một con đường tròn nửa đường kính R được tính theo công thức
2. Bí quyết tính độ nhiều năm cung tròn
Trên mặt đường tròn nửa đường kính R, độ lâu năm l của một cung no được tính theo công thức:
XIII. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn
1. Cách làm tính diện tích s hình tròn
- diện tích S của một hình tròn bán kính R được xem theo công thức:
2. Phương pháp tính diện tích hình quạt tròn
- diện tích hình quạt tròn bán kính R cung no được xem theo công thức
B. Các dạng bài xích tập về con đường tròn
• Dạng 1: minh chứng nhiều điểm thuộc thuộc 1 mặt đường tròn
* Phương pháp: chứng minh các điểm đang cho biện pháp đều 1 điều cho trước
Ví dụ: Cho tam giác ABC có tía góc nhọn nội tiếp mặt đường tròn (O), các đường cao theo thứ tự là AD, BE, CF. Minh chứng rằng, bốn điểm B,C,E,F thuộc nằm trên một đường tròn.
* Lời giải:
- Theo mang thiết:
BE là đường cao ⇒ BE ⊥ AC ⇒
CF là con đường cao ⇒ CF ⊥ AB ⇒
⇒ E cùng F cùng chú ý BC bên dưới một góc 900
⇒ E với F cùng nằm trên phố tròn đường kính BC.
⇒ Vậy tư điểm B,C,E,F thuộc nằm trên một con đường tròn.
• Dạng 2: Xác định trọng điểm và bán kính của đường tròn nước ngoài tiếp
* Phương pháp:
- Tam giác thường: Vẽ hai tuyến đường trung trực, giao của 2 mặt đường trung trực là chổ chính giữa của mặt đường tròn ngoại tiếp tam giác
- Tam giác vuông: chổ chính giữa đường tròn nước ngoài tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền
- Tam giác cân: trọng tâm của mặt đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm trên đường cao hạ từ bỏ đỉnh xuống lòng tam giác.
- Tam giác đều: trung tâm của đường tròn nước ngoài tiếp tam giác trùng với trọng tâm, trực trung khu và trung tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
Ví dụ 1: Tính nửa đường kính của đường tròn nước ngoài tiếp tam giác ABC vuông cân tất cả cạnh góc vuông bằng a.
* Lời giải:
- Theo định lý pitago ta tính chiều dài cạnh huyền, ta có:
- bởi tam giác vuông cân, nên tâm con đường tròn là trung điểm của cạnh huyền với chiều dài bán kính là:
Ví dụ 2: Xác định trung ương và nửa đường kính của đường tròn trọng tâm (O) ngoại tiếp tam giác đông đảo ABC bao gồm cạnh bằng a.
* Lời giải:
- trung ương đường tròn ngoại tiếp tam giác hầu như ABC là trực tâm của tam giác ABC.
- từ A hạ con đường cao AH xuống BC, ta có:
- công thức suy ra từ bỏ pitago:
⇒ chổ chính giữa đường tròng là trực tâm của tam giác với có buôn bán kính:
Bài tập 1: Cho hình thoi ABCD .Gọi O là giao điểm nhị đường chéo ; M,N,R,S là hình chiếu của O theo thứ tự trên AB , BC, CD cùng DA . Chứng tỏ 4 điểm M,N,R,S nằm trong một đường tròn .
* Lời giải: Chứng minh 4 tam giác vuông bởi nhau.
ΔMBO = ΔNBO = ΔRBO = ΔABO
(vì cạnh huyền đều bằng nhau ,góc nhọn bởi nhau)
* Suy ra OM = ON = OR = OS
* Vậy M,N,R,S ∈ O
Bài tập 2: Cho Δ ABC cân nặng tại A ; Nội tiếp Đường tròn (O) ; Đường cao AH giảm Đường tròn sinh sống D .
1) Vì sao AD là đường kính của (O) ?
2) Tính số đo góc ACD ?
3) Cho BC = 24 centimet ; AC = đôi mươi cm ;Tính độ cao AH và nửa đường kính của (O)
* Lời giải:
1) Vì tâm O là giao điểm của 3 đường trung trực của Δ ABC
Mà Δ ABC cân ở A yêu cầu đường cao AH cũng chính là trung trực ⇒ O ∈ AH
⇒ AD là dây qua tâm ⇒ AD là con đường kính
2) Nối DC; OC
Ta tất cả CO là trung tuyến mà lại CO = AD/2 = R
⇒ Δ ACD vuông làm việc C đề nghị = 900
3) Vì AH là trung trực ⇒ bảo hành = HC = BC/2 =24/2 = 12
Xét Δ vuông AHC tất cả :
Xét Δ vuông ACD gồm : AC2 = AH .AD
⇒ AD = AC2 / AH = 202 /16 = 25 centimet ⇒ R = AD /2 = 25 /2 =12,5 cm
Bài tập 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn, vẽ điểm N đối xứng cùng với A qua M; BN giảm đường tròn tại C, hotline E là giao điểm của AC cùng BM.
1) triệu chứng minh:NE ⊥ AB
2) hotline F là vấn đề đối xứng cùng với E qua M. Minh chứng FA là tiếp đường của mặt đường tròn (O)
3) Kẻ CH ⊥ AB (H∈AB) . Giả sử HB=R/2 , tính CB; AC theo R
Bài tập 4: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, lấy điểm C trên tuyến đường tròn làm sao để cho AC = R.
1) Tính BC theo R và những góc của tam giác ABC.
2) call M là trung điểm của AO, vẽ dây CD trải qua M. Minh chứng tứ giác ACOD là hình thoi.
Xem thêm: Soạn Bài Việt Bắc - Phần 1, Soạn Bài Việt Bắc Của Tố Hữu
3) Tiếp tuyến tại C của mặt đường tròn cắt đường trực tiếp AB tại E. Minh chứng ED là tiếp tuyến của con đường tròn (O)
4) hai tuyến phố thẳng EC và bởi vì cắt nhau trên F. Chứng tỏ C là trung điểm của EF
Bài tập 5: Cho hai tuyến đường tròn (O; R) cùng (O; R’) tiếp xúc ko kể tại A. Kẻ tiếp con đường chung bên cạnh BC. Cùng với B ∈ (O) và C (O")
1) Tính góc BÂC
2) Vẽ đường kính BOD. Chứng minh 3 điểm C, A, D trực tiếp hàng
3) Tính DA.DC
4) Chứng minh OO’ là tiếp tuyến của mặt đường tròn có đường kính BC, và tính BC?
Bài tập 6: Cho đường tròn trọng tâm O, đường kính AB. Trên đường tròn lấy 1 điểm C sao cho AC>BC. Các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn O cắt nhau tại D , BD cắt (O) tại E .Vẽ dây cung EF//AD ,vẽ CH vuông góc với AB tại H
1) Chứng minh : AE=AF và BE=BF
2) ADCO là tứ giác nội tiếp
3) DC2=DE.DB
4) AF.CH=AC.EC
5) Gọi I là giao điểm của DH và AE , CI cắt AD tại K . Chứng tỏ : KE là tiếp tuyến của (O)
6) Từ E kẻ đường thẳng song song v ới AB cắt KB tại S , OS cắt AE tại Q . Chứng minh : 3 điểm D,Q,F thẳng hàng
Hy vọng cùng với phần ôn tập cụ thể và không thiếu về kim chỉ nan đường tròn và bài bác tập áp dụng sinh hoạt trên sẽ giúp đỡ các em nắm vững kiến thức hơn về phần này. đa số thắc mắc các em hãy nhằm lại comment dưới bài xích viết, chúc những em học tập tập xuất sắc và đạt kết quả cao.