Tính thể tích khối đa diện là dạng toán quan trọng nhất nghỉ ngơi chương này, để rất có thể giải được các bài tập dạng này yên cầu khả năng vân dụng, tổng hợp những kiến thức hình học không gian đã được học với ghi ghi nhớ được các công thức tính thể tích các khối nhiều diện thân thuộc như khối chóp, khối lăng trụ,...Bên cạnh đó thể tích khối chóp còn được vận dụng để tính khoảng cách với chứng minh hệ thức.

Bạn đang xem: Bài 3 hình học 12


1. Video clip bài giảng

2. Bắt tắt lý thuyết

2.1. đặc điểm của thể tích khối nhiều diện

2.2. Thể tích khối hộp chữ nhật

2.3. Thể tích khối chóp

2.4. Thể tích khối lăng trụ

3. Bài bác tập minh hoạ

4. Luyện tập bài 3 hình học tập 12

4.1 Trắc nghiệm về tính thể tích khối đa diện

4.2 bài bác tập SGK và nâng cao về thể tích khối nhiều diện

5. Hỏi đáp về tính chất tính thể tích khối nhiều diện


Hai khối đa diện bằng nhau thì hoàn toàn có thể tích bởi nhau.Nếu 1 khối đa diện được phân chia thành các khối nhiều diện nhỏ dại thì thể tích của chính nó bằng tổng thể và toàn diện tích của các khối nhiều diện nhỏ.Khối lập phương có cạnh bởi 1 thì rất có thể tích bằng 1.

Giả sử có 1 khối vỏ hộp chữ nhật cùng với 3 size a, b, c gần như là hồ hết số dương. Lúc ấy thể tích của chính nó là:(V=a.b.c).

*


Thể tích của một khối chóp bắng một trong những phần ba tích số của dưới đáy và độ cao khối chóp đó:(V=frac13S_day.h.)

*

(V_S.ABCD=frac13S_ABC.SH)

Công thức tỉ số thể tích của khối chóp tam giác:

*

Trên những đường thẳng SA, SB, SC của hình chóp S.ABC ta đem lần lượt các điểm

*
. Ta có:
*
.


Thể tích của khối lăng trụ bằng tích số của diện tích dưới mặt đáy với độ cao của khối lăng trụ đó:(V=S_day.h.)

*

(V_ABC.A"B"C"=S_ABC.C"H)


1. Tính thể tích khối chóp

Ví dụ 1:

Cho hình chóp S.ABC gồm tam giác ABC vuông tại B, (AB=a sqrt 2, AC=a sqrt 3), lân cận SA vuông góc với phương diện phẳng đáy cùng (SB=a sqrt 3.)Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Lời giải:

*

Tam giác ABC vuông tại B phải (BC = sqrt AC^2 - AB^2 = a.)

Suy ra:( mS_Delta mABC = frac12BA.BC = frac12.asqrt 2 .a = fraca^2.sqrt 2 2)

Tam giác SAB vuông tại A tất cả (SA = sqrt SB^2 - AB^2 = a.)

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: (V_S.ABC = frac13.S_ABC.SA = frac13.fraca^2.sqrt 2 2.a = fraca^3.sqrt 2 6.)

Ví dụ 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh (asqrt2), cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và (SC=a sqrt5). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Lời giải:

*

Diện tích ABCD: ( mS_ mABCD = left( asqrt 2 ight)^2 = 2a^2.)

Ta có: (AC = AB.sqrt 2 = asqrt 2 .sqrt 2 = 2a.)

Tam giác SAC vuông trên A nên: (SA = sqrt SC^2 - AC^2 = a).

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: (V_S.ABCD = frac13.S_ABCD.SA = frac13.2a^2.a = frac2a^33.)

Ví dụ 3:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng (asqrt3), ở bên cạnh bằng 2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Lời giải:

*

Gọi M là trung điểm của BC.

O là trọng tâm tam giác ABC suy ra (SO ot (ABC).)

Tam giác ABC hồ hết cạnh (asqrt3)suy ra:

(AM=asqrt 3 .fracsqrt 3 2 = frac3a2.)

( mAO = frac m2 m3.AM = frac23.frac3a2 = a).

( mS_Delta mABC = frac12AB.AC.sin 60^0 = frac12.asqrt 3 .asqrt 3 .fracsqrt 3 2 = frac3a^2.sqrt 3 4).

Tam giác SAO vuông tại A đề xuất ta có(SO = sqrt SA^2 - AO^2 = a.sqrt 3.)

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:

(V_S.ABC = frac13.S_ABC.SA = frac13.frac3a^2sqrt 3 4.a = fraca^3.sqrt 3 4.)

Ví dụ 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông vắn cạnh a, lân cận SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC chế tạo với dưới mặt đáy một góc bằng 600.Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Lời giải:

*

(SA ot (ABCD))nên AC là hình chiếu của SC lên khía cạnh mặt phẳng (ABCD).

Do đó: (widehat (SC,(ABCD)) = widehat (SC,AC) = widehat SCA = 60^o.)

Diện tích đáy là: ( mS_ mABCD = a^2.)

Tam giác SAC vuông tại A gồm (AC=a sqrt2, widehat SCA = 60^0 Rightarrow SA = AC. an 60^o = asqrt 6.)

Vậy thể tích khối chóp là: (V_S.ABCD = frac13.S_ABCD.SA = frac13.a^2.asqrt 6 = fraca^3.sqrt 6 3.)

Ví dụ 5:

Cho hình chóp S.ABC bao gồm đáy ABC là tam giác vuông cân nặng tại A, cạnh (BC=asqrt2,)cạnh bên SA vuông góc với khía cạnh phẳng đáy; mặt bên (SBC) chế tạo với dưới đáy (ABC) một góc bằng 450 .Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Lời giải:

*

Gọi M là trung điểm của BC ta có: (AM ot BC).

Mặt khác: (SA ot BC)do (SA ot left( ABC ight).)

Nên: (BC ot (SAM) Rightarrow SM ot BC.)

Suy ra: (widehat ((SBC),(ABC)) = widehat (SM,AM) = widehat SMA = 45^o).

Tam giác ABC vuông cận tại A có (BC=asqrt2)suy ra:

(AB = BC = a)và (AM = fracasqrt 2 2)(Rightarrow mS_Delta mABC = frac12AB.AC = frac12.a.a = fraca^22)

Tam giác SAM vuông trên A có(AM = fracasqrt 2 2)và(widehat SMA = 45^o)

Suy ra: (SA = AB. an 45^o = fracasqrt 2 2.)

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:

(V_S.ABC = frac13.S_ABC.SA = frac13.fraca^22.fracasqrt 2 2 = fraca^3.sqrt 2 12).

2. Thể tích khối lăng trụ

Ví dụ 6:

Cho lăng trụ đứng ABC.A"B"C"có lòng ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, (AC=asqrt3), cạnh A"B = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A"B"C".

Lời giải:

*

Tam giác ABC vuông trên B buộc phải (BC=sqrt AC^2 - AB^2 = asqrt 2.)

Suy ra: (S_ABC = frac12AB.BC = fraca^2sqrt 2 2.)

Tam giác A"AB vuông tại A nên: (A"A = sqrt A"B^2 - AB^2 = asqrt 3 .)

Vậy thể tích khối lăng trụ là: (V_ABC.A"B"C" = S_ABC.A"A = fraca^3sqrt 6 2.)

Ví dụ 7:

Cho lăng trụ ABC.A"B"C"có lòng ABC là tam giác mọi cạnh (2asqrt3), hình chiếu vuông góc của A"lên khía cạnh phẳng (ABC) trùng với giữa trung tâm của tam giác ABC, cạnh A"A phù hợp với dưới đáy (ABC) một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A"B"C".

Lời giải:

*

Gọi M là trung điểm của BC.

G là trọng tâm tam giác ABC suy ra: (A"G ot (ABC)).

Do kia AG là hình chiếu vuông góc của AA" lên mặt phẳng (ABC).

Suy ra: (left( widehat A^/A,(ABC) ight) = widehat A^/AG = 30^0.)

Tam giác ABC rất nhiều cạnh (2asqrt3)nên: (S_ABC = left( 2asqrt 3 ight)^2.fracsqrt 3 4 = 3a^2sqrt 3.)

Tam giác A"AG vuông trên G có (widehat A = 30^0,AG = frac23AM = frac23.2asqrt 3 .fracsqrt 3 2 = 2a.)

Suy ra: (A"G = AG. an 30^0 = frac2asqrt 3 3.)

Vậy: (V_ABC.A"B"C" = S_ABC.A"A = 6a^3.)

3. Phương pháp tính tỷ số thể tích

Ví dụ 8:

Cho hình chóp S.ABC bao gồm tam giác ABC đầy đủ cạnh 2a, ở kề bên SA vuông góc với khía cạnh phẳng đáy cùng (SA=asqrt3.)Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của SB cùng SC. Tính thể tích khối chóp S.AMN cùng A.BCNM.

Lời giải:

*

Khối chóp S.AMN cùng S.ABC có chung đỉnh S cùng góc sinh sống đỉnh S.

Do kia theo bí quyết tỷ số thể tích, ta có:

(fracV_S.AMNV_S.ABC = frac mSA mSA.fracSMSB.fracSNSC = 1.frac12.frac12 = frac14)

Suy ra:(V_S.AMN = fracV_S.ABC4 = fracfrac13.a^2sqrt 3 .asqrt 3 4 = fraca^34)

Và:(V_A.BCNM = frac34.V_S.ABC = frac3a4^3.)

Ví dụ 9:

Cho hình chóp(S.ABCD)có đáy(ABCD)là hình bình hành, M cùng N theo sản phẩm tự là trung điểm của SA và SB. Tính tỉ số thể tích(fracV_S.CDMNV_S.CDAB).

Lời giải:

*

Ta có:

(V_S.MNCD = V_S.MCD + V_S.MNC)và(V_S.ABCD = V_S.ACD + V_S.ABC).

Xem thêm: Dịch Sang Tiếng Anh Hồ Ly Tinh Tiếng Anh Là Gì ? Hồ Ly Tiếng Anh Là Gì

Khi đó:(fracV_S.MCDV_S.ACD = fracSMSA = frac12 Leftrightarrow V_S.MCD = frac14V_S.ABCD)

Mặt khác:(fracV_S.MNCV_S.ABC = fracSMSA.fracSNSB = frac14 Rightarrow V_S.MNC = frac18V_S.ABCD)

Từ trên suy ra(V_S.MNCD = left( frac14 + frac18 ight)V_S.ABCD = frac38V_S.ABCD).