Ánh xạ đồng nhất

∀x∈X,∃!y∈Y,y=f(x)

displaystyle forall xin X,exists !yin Y,y=f(x)

Tập X được điện thoại tư vấn là tập nguồn, tập Y được gọi là tập đích.<2>

Với mỗi

y∈Y

displaystyle yin Y

, tập nhỏ của X gồm những phần tử, có hình ảnh qua ánh xạ f bởi y, được gọi là tạo ảnh của bộ phận y qua f, ký hiệu là

f

−1

(y)

displaystyle f^-1(y)

f

−1

(y)=

f(x)=y

displaystyle f^-1(y)=f(x)=y

Với từng tập con

A⊂X

displaystyle Asubset X

x∈A

displaystyle xin A

f(A)=

x∈A

displaystyle f(A)=xin A

Với mỗi tập con

B⊂Y

displaystyle Bsubset Y

f(x)∈B

displaystyle f(x)in B

f

−1

(B)

displaystyle f^-1(B)

f

−1

(B)=

f(x)∈B

displaystyle f^-1(B)=xin X

Trong đối sánh tương quan với khái niệm quan hệ, ta cũng hoàn toàn có thể định nghĩa:

F

displaystyle mathcal F

tự tập X vào tập Y là 1 trong quan hệ

F

displaystyle mathcal F

trường đoản cú X vào Y thỏa mãn điều kiện: đều phần tử

x∈X

displaystyle xin X

đều phải sở hữu quan hệ

F

displaystyle mathcal F

với một cùng chỉ một trong những phần tử

y∈Y

displaystyle yin Y

.

Vài đặc thù cơ bản

A=∅

⇔f(A)=∅

displaystyle A=emptyset ,Leftrightarrow f(A)=emptyset

A⊂B

displaystyle Asubset B

⇒f(A)⊂f(B)

displaystyle Rightarrow f(A)subset f(B)

f(A∩B)⊂f(A)∩f(B)

displaystyle f(Acap B)subset f(A)cap f(B)

f(A∪B)=f(A)∪f(B)

displaystyle f(Acup B)=f(A)cup f(B)

Toàn ánh, 1-1 ánh và tuy nhiên ánh

f(X)=Y

displaystyle f(X)=Y

∀y∈Y,∃x∈X:f(x)=y

displaystyle forall yin Y,exists xin X:f(x)=y

∀

x

1

,

x

2

∈X:

x

1

≠

x

2

⇒f(

x

1

)≠f(

x

2

)

displaystyle forall x_1,x_2in X:x_1neq x_2Rightarrow f(x_1)neq f(x_2)

∀

x

1

,

x

2

∈X:f(

x

1

)=f(

x

2

)⇒

x

1

=

x

2

displaystyle forall x_1,x_2in X:f(x_1)=f(x_2)Rightarrow x_1=x_2

Một số ánh xạ đặc biệt

x∈X

displaystyle xin X

(cũng được call là đối chọi ánh bao gồm tắc).<5> khi ấy ta ký kết hiệu f: X

↪

displaystyle hookrightarrow

f:X→Y

displaystyle f:Xto Y

là solo ánh, lúc chứng kiến tận mắt f chỉ với ánh xạ trường đoản cú X vào tập bé

f(X)⊂Y

displaystyle f(X)subset Y

, f sẽ là song ánh. Thời điểm đó ta có khớp ứng 1-1 thân X cùng với f(X) nên hoàn toàn có thể thay nuốm các bộ phận của tập nhỏ

f(X)⊂Y

displaystyle f(X)subset Y

bởi các bộ phận của tập X. Việc này được hotline là nhúng X vào Y bằng đối chọi ánh f.

Các phép toán

Ánh xạ hợp

f:X→Y

displaystyle f:Xto Y

và

g:Y→Z

displaystyle g:Yto Z

g∘f

displaystyle gcirc f

(g∘f)(x)=g(f(x))

displaystyle (gcirc f)(x)=g(f(x))

Một số đặc điểm của ánh xạ hợp

(g∘f)

displaystyle (gcirc f)

là solo ánh thì f là đơn ánh.Nếu (g∘f)

displaystyle (gcirc f)

là toàn ánh thì g là toàn ánh.Nếu (g∘f)

displaystyle (gcirc f)

là tuy nhiên ánh thì f và g những là tuy vậy ánh.

Ánh xạ nghịch đảo

f:X→Y

displaystyle f:Xto Y

là tuy vậy ánh. Trường hợp tồn trên ánh xạ

g:Y→X

displaystyle g:Yto X

∀x∈X:(g∘f)(x)=x

displaystyle forall xin X:(gcirc f)(x)=x

∀y∈Y:(f∘g)(y)=y

displaystyle forall yin Y:(fcirc g)(y)=y

thì g được gọi là nghịch đảo, tốt ánh xạ ngược, của f, ký hiệu là

f

−1

displaystyle f^-1

.

Ánh xạ f bao gồm nghịch đảo khi và chỉ khi f là tuy vậy ánh.<6>

Ánh xạ thu hẹp

Cho ánh xạ

f:X→Y

displaystyle f:Xto Y

cùng một tập con

E⊂X

displaystyle Esubset X

f

displaystyle f

về

E

displaystyle E

là một trong những ánh xạ từ

E

displaystyle E

vào

Y

displaystyle Y

, ký hiệu

f

|

E

displaystyle f

f

|

E

(x)=f(x)

_E(x)=f(x)

Ánh xạ mở rộng

Cho ánh xạ

f:X→Y

displaystyle f:Xto Y

và một tập hợp

F

displaystyle F

sao cho

X⊂F

displaystyle Xsubset F

f

displaystyle f

tới

F

displaystyle F

là 1 trong những ánh xạ

f~

displaystyle tilde f

F

displaystyle F

vào

Y

displaystyle Y

sao cho

∀x∈X:

f~

(x)=f(x)

displaystyle forall xin X:tilde f(x)=f(x)

Các định nghĩa ánh xạ không giống (dịch từ giờ Anh)

∈

displaystyle in

X lên Y làm sao cho với mỗi kề bên W của f(x) đông đảo tồn tại bên cạnh V của x trong X (V

⊂

displaystyle subset

X) làm thế nào để cho f(V)

⊂

displaystyle subset

W được hotline là ánh xạ liên tiếp tại x lên YÁnh xạ Y = f(X) được điện thoại tư vấn là ánh xạ liên tiếp từ X vào Y giả dụ nó tiếp tục với đều x ∈

displaystyle in

XÁnh xạ đồng phôi: f:X→Y là ánh xạ tuy nhiên ánh, thường xuyên và ánh xạ ngược f

−1

displaystyle f^-1

cũng liên tục. Lúc ấy X với Y được gọi là hai không gian, nhị tập phù hợp đồng phôi hay tương tự tô pôContour map Phương ánh các đường ở ngangContraction mapping ánh xạ co là ánh xạ của không gian mêtric vào bao gồm nó, sao cho khoảng cách giữa hai điểm bất kể bị giảm đi qua ánh xạ đó. Người ta minh chứng rằng, nếu không gian mêtric là đủ thì mỗi ánh xạ co lúc nào cũng bao gồm một và có một điểm bất tỉnh x, có nghĩa là F(x) = x
Equivariant bản đồ Ánh xạ đẳng biếnEvaluation bản đồ Ánh xạ định giáExcission maps Ánh xạ cắtFibre bản đồ Ánh xạ phân thớ, ánh xạ các không gian phân thớIdentification maps Ánh xạ đồng nhất hoáInclusion map Ánh xạ nhúng chìmInterior map Ánh xạ trongInvolutory bản đồ Ánh xạ đối hợpLight bản đồ Ánh xạ chuẩn đứt quãng (khắp nơi có các điểm gián đoạn)Lowering map Ánh xạ hạ thấpRegular map Ánh xạ chính quySimplicial map Ánh xạ đối chọi hìnhTensor bản đồ Ánh xạ tenxơAffine mapping Ánh xạ afinAnalytic mapping Ánh xạ giải tíchBicontinuous mapping Ánh xạ song liên tụcChain mapping Ánh xạ chuỗi, ánh xạ dây chuyềnClosed mapping Ánh xạ đóng: f:X→Y được hotline là ánh xạ đóng nếu với tất cả tập A đóng góp ∈

displaystyle in

X đều sở hữu f(A) là tập đóng trong YOpen mapping Ánh xạ mở: f:X→Y được hotline là ánh xạ mở nếu với đa số tập A mở ∈

displaystyle in

X đều sở hữu f(A) là tập mở trong YDiferentiable mapping Ánh xạ khả viEpimorphic mapping Ánh xạ toàn hìnhHomomorphous mapping Ánh xạ đồng cấuHomotopic mapping Ánh xạ đồng luânÁnh xạ đẳng cựIsotonic mapping Ánh xạ bảo toàn đồ vật tựÁnh xạ tuyến tínhMeromorphic mapping Ánh xạ phân hìnhMonomorphic mapping Ánh xạ 1-1 cấuMonotone mapping Ánh xạ đối chọi điệuNon-alternating mapping Ánh xạ không cố gắng phiênNorm-preserving mapping Ánh xạ bảo toàn chuẩnOne-to-one mapping Ánh xạ một-một, hai chiều, (song ánh)Perturbation mapping Ánh xạ lệchPreclosed mapping Ánh xạ chi phí đóngPseudoconformal mapping Ánh xạ đưa bảo giácQuasi-conformal mapping Ánh xạ tựa bảo giácQuasi-open mapping Ánh xạ tựa mởRational mapping Ánh xạ hữu tỷSense-preserving mapping Ánh xạ bảo toàn chiềuSlit mapping Ánh xạ lên miền có lát cắt trongStarlike mapping Ánh xạ hình saoSymplectic mapping Ánh xạ đối ngẫu ximplecticTopological mapping Ánh xạ sơn pôUnivalent mapping Ánh xạ solo diệpTập hợpLý thuyết tập hợpNhóm (đại số)Hàm sốÁnh xạ xạ ảnhTô pô

Ghi chú